Sistemas de ecuaciones de primer grado.


Glosario:


Método de igualación: uno de los métodos elementales de resolución de sistemas lineales, que consiste en despejar la misma incógnita de ambas ecuaciones para igualar entre sí las expresiones resultantes, obteniendo una ecuación final con una única incógnita que se resuelve. La segunda incógnita se calcula posteriormente sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones originales, el valor de la incógnita ya conocida.

Método de sustitución: uno de los métodos de resolución de sistemas, que consiste en despejar una de las incógnitas de una de las dos ecuaciones y sustituir la expresión resultante en esa misma incógnita pero de la segunda ecuación. Se obtiene una sola ecuación con una única incógnita, que se resuelve. La segunda incógnita se calcula posteriormente sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones originales, el valor de la incógnita ya conocida.

Método de reducción: consiste en conseguir -mediante aplicación de propiedades de los sistemas- que una de las dos incógnitas aparezca con coeficientes opuestos, para que al sumar miembro a miembro las ecuaciones ordenadas, desaparezca, obteniendo una ecuación con una única incógnita. La segunda incógnita se calcula posteriormente sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones originales, el valor de la incógnita ya conocida.

IIª de las propiedades fundamentales de las ecuaciones: podemos multiplicar o dividir por un número cualquiera ambos miembros de una ecuación, sin que la nueva ecuación deje de ser cierta.

Propiedad fundamental de los sistemas de ecuaciones: podemos sumar o restar miembro a miembro las ecuaciones de un mismo sistema, obteniendo otra igualdad cierta para las misma incógnitas.

Sistema lineal: conjunto de ecuaciones lineales o de primer grado, que se refieren a un mismo problema que se trata de solucionar.

Sistema compatible: sistema que tiene solución.

Sistema compatible definido, sistema que tiene una única solución.

Sistema compatible indefinido es el sistema que tiene infinitas soluciones.

Sistema incompatible: sistema que carece de solución.

Solución de un sistema lineal: valor de cada una de las incógnitas que hacen ciertas las ecuaciones del sistema.


CASO. Resolución de un problema con la cantidad de botellas de agua compradas para un campamento.

Unknown.jpegHola Federico. Te escribimos para ver si puedes ayudarnos, resolviéndonos, o mejor, enseñándonos a resolver un problema que tenemos, que no es grave, sino sólo un problema numérico, con las cuentas de una compra que hemos hecho. Nuestro monitor scout nos ha dado la idea de dirigirnos a tí.

Resulta que en el grupo scout del colegio, nos encargamos de comprar agua para llevar a un campamento que vamos a hacer en una zona donde hay sequía este año y en total compramos 1050 botellas, unas de 1,5 litros, y otras de 300 ml. En total nos gastamos 356€.

La administradora del colegio, nos ha preguntado que cuántas había de cada tamaño porque, las han juntado a otro pedido que había para el polideportivo, y quiere saber cuántas de cada tamaño habíamos comprado nosotros para el campamento. No nos acordamos de apuntarlo. Sólo sabemos que las de 1,5 litros nos las vendieron a 0,50€ y las de 300 mL, a 0,24 €.

¿Crees que podríamos llegar a saber cuantas había de cada tamaño?.
Muchísimas gracias de antemano, por todo.
Un saludo,
El grupo scout “Los Bucaneros”
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RESPUESTA

Estimados “Bucaneros”: en primer lugar, gracias por escribirme. Por supuesto que me gustará ayudaros. Paso a enumeraros los puntos clave para que resolváis el problema y que además podréis aplicar siempre en todas las situaciones de resolución de problemas. Un fuerte abrazo!

Planteamiento y resolución del problema.

I) Lo primero de todo, debéis identificar qué es lo que queréis calcular, qué es lo que queréis saber: en este caso,

1º) El número de botellas de 1,5 litros que habéis comprado.
2º) El número de botellas de 300mL que habéis comprado.

II) En segundo lugar, y sólo después de tener claro lo anterior, utilizaréis el método que aporta el álgebra: ¡asignad letras a vuestras incógnitas!:

1º) Llamad x al número de botellas de 1,5 litros que comprasteis, ese número que ahora no recordais. Escribid: x=nº de botellas de 1,5 litros.
2º) Llamad y al segundo número que queréis recordar, el de botellas de 300 mililitros compradas. Escribid: y=nº de botellas de 0,3 litros.

III) Ahora, tratad de escribir un par de igualdades con a la información y datos que tenéis en el problema.

Sabéis que todas las botellas que comprasteis, fueron 1050.
Por tanto, escribid: x+y=1050
Y sabéis que os han costado 356€. Eran x botellas a 0,50€ e y botellas a 0,24€.
Por tanto escribid: 0,50·x + 0,24·y = 356€.

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IV) Resolución. Ya tenéis un sistema de ecuaciones. Os habrán enseñado a resolver sistemas en vuestro colegio, lo tenéis en cualquier libro de matemáticas y en Internet. Es pura mecánica, lo puede aprender cualquier persona. De hecho, podéis programar máquinas para que lo hagan ellas. Si os gusta eso, programar, podéis escribir un programa en “Scratch”.

Os escribo los pasos por si no estáis seguros de haberlo hecho bien:

 

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Multiplicad por (-0,5) a la 1ª ecuación. (Ver método de reducción).

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Habéis logrado coeficientes opuestos para la letra x. Al sumar las ecuaciones, se anularán.

29nov04

Al sumar las ecuaciones, se han anulado las x, quedando una única ecuación con la incógnita y, que resolveréis.

V) Por último, después de todo este trabajo ordenado, metódico, comprobad que los resultados de vuestros cálculos, tienen sentido. No vaya a ser que hagáis el ridículo, diciendo que se compraron 13 botellas, o 43.000 …

Efectivamente 400 + 650 son 1050 botellas. Y por otra parte, 400 botellas a 0,50€ a 0,50€ son 200€ + 650 botellas a 0,24€ son 156€, en total, 356€.

Espero haberos ayudado.
¡Un saludo afectuoso al grupo de “Bucaneros”!


Conceptos.


Qué es un sistema lineal de dos incógnitas.

En general, un conjunto de ecuaciones, que se refieren al mismo problema y que contienen las mismas incógnitas, recibe el nombre de sistema.

Cuando las ecuaciones que forman un sistema son de primer grado para todas las incógnitas, diremos del sistema que es un sistema lineal, o de primer grado. 

Para que un sistema de ecuaciones pueda tener una solución concreta (un valor para cada una de las incógnitas) debe tener tantas ecuaciones distintas como incógnitas tenga el problema.


Repaso. Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones.


Método de sustitución.

El método de substitución, consiste en despejar una de las incógnitas de una de las dos ecuaciones y sustituir la expresión resultante de despejar,en lugar de la misma incógnita de la otra ecuación.

Ejemplo:

Paso 1º. Despejamos una incógnita; por ejemplo la “y”, de la 1ª ecuación:

Paso 2º. Substituímos su valor en la misma “y” de la otra ecuación,Paso 3º. Nos encontramos con que esta segunda ecuación, después de la sustitución, es una ecuación con una única incógnita. La resolvemos:

Paso 4º. La segunda incógnita se calcula sustituyendo este resultado, x=100, en cualquiera de las dos ecuaciones iniciales, y despejando el valor de “x”.

Método de igualación

Consiste en despejar la misma incógnita de ambas ecuaciones para igualar las expresiones resultantes, obteniendo entonces una sola ecuación con una única incógnita, que resolveremos.

Ejemplo:

Paso 1º. Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones,

Paso 2º. Se igualan ambos resultados,

Paso 3º. Se resuelve la ecuación,

Paso 4º. La segunda incógnita se calcula posteriormente utilizando este valor de “y“, en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema.

Método de reducción.

Este método se basa en la siguiente propiedad de los sistemas: “Podemos sumar o restar miembro a miembro las ecuaciones de un sistema entre sí como están, o previamente multiplicadas cada una por un número, sin que la solución del sistema varíe”.

Clave del método. Se debe conseguir antes de sumar ambas ecuaciones entre sí, que los términos correspondientes a una de las dos incógnitas de una y otra ecuación, sean opuestos, para que al sumar miembro a miembro las ecuaciones, se anulen.

Ejemplo de resolución por reducción, de nivel elemental.

Sumamos miembro a miembro las dos ecuaciones, ya que el término en y de la 1ª ecuación y el de la segunda, son opuestos. Al sumarlos se anularán.

de ahí, sabemos que x=100 y calculamos el de “y”;  y=30