Fracciones, Razones, Porcentajes.



1 Glosario:

Amplificación. Multiplicación del numerador y del denominador de una fracción por un mismo número. Las fracciones tienen la propiedad de admitir esta operación, sin que el valor de las mismas, varíe.

Fracción: (1). Cociente entre dos números enteros.
(2): Cada una de las partes o cantidad de ellas, en todo caso iguales, en que se ha dividido la unidad.
(3) Es la forma a/b, siendo a y b números  enteros, donde a, llamado numerador, indica la cantidad de partes escogidas de entre iguales, y donde b, llamado denominador, indica el total de partes en que está dividida la entidad.

Fracción canónica. Dícese de la fracción irreducible de un número racional. (NOTA. Canónico, en general, es el elemento de un conjunto o colección, que se elige como representante del mismo, por ser el más sencillo).

Fracciones equivalentes. Fracciones que tienen igual valor.

Fracción impropia. Fracción cuyo numerador tiene un valor superior al denominador, y cuyo valor es, por tanto, superior a la unidad.

Fracción inversa. Dada una fracción, a/b, su fracción inversa es b/a. (Por tanto, el producto de una fracción cualquiera por su propia inversa es igual a 1.)

Fracción irreducible. Cualquier fracción que no admita simplificación.

Fracción opuesta. Dada una fracción cualquiera, a/b, su fracción opuesta es -a/b. Consecuentemente, la suma de una fracción cualquiera y su propia opuesta, es igual a cero.

Fracción propia. Fracción cuyo numerador es inferior al denominador, y cuyo valor global, por tanto es inferior a una unidad. Como consecuencia, su valor es siempre un número decimal inferior a 1.

Fracción recíproca. Se llama recíproca de una fracción, a la inversa. Así pues, inversa y recíproca son términos sinónimos.

Número racional. Cada uno de los conjuntos de fracciones equivalentes entre sí.

Propiedades de las fracciones.
1) Podemos multiplicar al numerador y al denominador de una fracción por mismo número, sin que el valor de la fracción varíe.
2 Podemos dividir al numerador y al denominador de una fracción por mismo número, sin que el valor de la fracción varíe.

Razón. Cociente entre dos números cualesquiera. Ejemplo:

Reducción de una fracción. Operación consistente en simplificarla hasta que no admita una nueva simplificación.

Simplificación. División del numerador y del denominador de una fracción, por el mismo número o cantidad. Todas las fracciones presentan la propiedad de admitir esta operación, sin que el valor de la fracción varíe.

Tasa. Razón o cociente entre dos magnitudes diferentes, con sus unidades. [Si no expresamos la razón de dichas unidades, la tasa deja de informar, y queda en una mera razón entre números. Ejemplo: la tasa máxima de alcohol en sangre permitida o tasa de alcoholemia, es un número, seguido del cociente, g/litro. Informándonos mejor, sabremos que se refiere a gramos de alcohol detectados por litro de sangre. Pero es imprescindible que expresemos la relación entre las unidades.]


2 Ampliación de conceptos.


1.- ¿Qué es una fracción?

Una fracción de algo, es cada una de las partes iguales en que se ha dividido esa entidad o cualquier conjunto de esas partes iguales.

Así por ejemplo una de las cuatro partes iguales en que dividimos un pastel, es representada como 1/4. Si tomamos 3 de esos trozos, escribiremos 3/4 para designar los que hemos tomado .
Es importante retener que el concepto de fracción va intrínsecamente ligado a que las partes en que se ha dividido algo, tienen que ser iguales.

2.- Definición matemática de fracción.

Es el cociente indicado a/b entre dos números enteros cualesquiera, con la única condición de que b no puede ser cero.

Esta es la definición actual de fracción, después de que históricamente hablando, (en el 629, el matemático Bhaskara designa las fracciones aritméticas de forma semejante a la actual, aunque sin la raya horizontal, que entrará siglos más tarde de manos de matemáticos árabes. [Ifrah 1994a, p. 1399]) las primeras fracciones lo eran con numerador 1, y se referían efectivamente a una de las partes iguales en que se dividía algo.

3.- Fracción de una cantidad dada. 

 Los a/b de un número N tiene como resultado el del producto (a/b)·N.

Decimos en estos cálculos, que la fracción ha actuado como operador de la cantidad total. Así, calcular, “los dos tercios de 1200” se reduce a operar, (2/3)·1200=800.

4.- ¿Qué son las fracciones equivalentes? 

 Dos fracciones “a/b” y “m/n”, se dice que son equivalentes si sus cocientes tienen igual valor.

Importante: al decir en la definición anterior, “el mismo valor“, se ha de tener en cuenta que matemáticamente nos referimos a “exactamente el mismo valor“. La mejor manera de comprobar que esto es cierto no consiste en efectuar la división indicada por los cocientes sino en averiguar si se cumple la propiedad fundamental de equivalencia entre fracciones. Dos fracciones son equivalentes a/b = c/d si y solo si es cierto el producto a·d=b·c.
Ejemplo: 2/3 = 14/21 ya que 2·21 = 3·14

5.- ¿Qué es amplificar una fracción? 

 Es multiplicar su numerador al mismo tiempo que su denominador por un mismo número, ya que sabemos que el valor de la fracción no varía. Toda fracción a/b conserva su valor si su numerador y su denominador son multiplicados por un mismo número. a/b=a·n/b·n.
Decimos que hemos amplificado la fracción.
Ejemplo:  2/3 = 4/6 = 6/9 = … = 18/27 = … = 200/300 = …

6.- ¿Qué es simplificar una fracción? 

 Es dividir su numerador al mismo tiempo que su denominador por un mismo número, ya que sabemos que el valor de la fracción no varía. Toda fracción a/b conserva su valor si su numerador y su denominador son divididos por un mismo número.
Decimos que hemos simplificado la fracción. Importante: el numerador y el denominador deben ser múltiplos de dicho mismo número.
Ejemplo: 120/300 = 12/30 = 6/15 = 2/5.

7.- ¿Qué es un número racional? 

 1) Entendemos por número racional, el conjunto de todas las fracciones que son equivalentes a una dada.
Son infinitas. Y su notación matemática (la forma en que se representan en matemáticas), consiste en expresar algunas de ellas, separadas entre sí por comas y encerrado el conjunto entre llaves.
Ejemplo{1/2, 2/4, 3/6, … } es el número racional formado por las infinitas fracciones que valen 1/2.

8.- ¿A que se llama fracción canónica de un número racional? 

 A la fracción irreducible de todas las que componen dicho número racional.

En general, se entiende por representante canónico de un conjunto, al más sencillo de ellos, que se elige por esa razón para representarlos. De ahí que del conjunto de todas las fracciones que forman un número racional, escojamos a la irreducible como representante.
Ejemplo: 1/2 es la fracción canónica del número racional {1/2, 2/4, 3/6, … }

9.- Fracción decimal.

Es toda fracción cuyo denominador sea 10 o potencia de 10.
Otra forma de definirlo es decir que es toda fracción de la forma a/(10)n.

10.- Fracción unitaria.

Es toda fracción cuyo numerador sea igual a 1 y cuyo denominador sea un número entero positivo.
Ejemplo:  1/7, 1/8, 1/234 son fracciones unitarias.

11.- Porcentaje.

Es la forma n% de representar a la razón n/100. El signo “%” es imprescindible y significa “partido por cien”.
Ejemplo:  23/100 se representa como 23% y es igual a 0,23.
Ejemplo:  23,68/100 se representa como 23,68% y es igual a 0,2368.
Ejemplo:  12,34% = 12,34/100 = 0,1234.

12.- Número mixto. 

Es la forma de representar la suma de un número entero y una fracción propia.
Ejemplo: 8¾ significa 8+¾.

13.- Razón.

Es el cociente indicado entre dos números cualesquiera. Todas las fracciones son razones; pero no todas las razones son fracciones.
Ejemplo: 1/6, 2/9, -3/7, 3,45/78, -3,4/56,2 son razones.

14.- Tasa.

Cociente entre dos magnitudes diferentes, indicando las unidades de ambas.
Importante: es imprescindible dejar indicadas las unidades de ambas mediciones.

Ejemplo: la tasa de natalidad de una población se expresa dividiendo el número de nacimientos habidos en un período de tiempo (generalmente un año), entre el número de habitantes de esa población. 23 nacidos en una población de 1345 habitantes arroja una tasa de 23 nacimientos/1345 habitantes.

15.- Tasa unitaria. 

Cálculo ejecutado de una tasa. El resultado se refiere a unidades del numerador por cada unidad del denominador.
Ejemplo: la tasa de natalidad de una población se expresa dividiendo el número de nacimientos habidos en un período de tiempo (generalmente un año), entre el número de habitantes de esa población. 23 nacidos en una población de 1345 habitantes arroja una tasa de 23 nac./1345 hab., y la tasa unitaria será: 0,0171 nacidos/habitante.

De manera habitual, se suele indicar en tanto por mil. 0,0171 nacidos/habitante, es más fácil de entender si se expresa como 17,1 nacidos por cada mil habitantes o lo que es igual17,1‰

16.- Tanto por uno. 

Resultado decimal de cualquier fracción propia.
Ejemplo: 1/7 = 0,1428 es el tanto por uno.

17.- Tanto por ciento.

Es el tanto por uno, convertido a razón de denominador 100.
Ejemplo:  1/7=0,1428 que es el tanto por uno = 14,28/100 o 14,28 por ciento = 14,28%.

18.- Tanto por mil.

Es el tanto por uno, convertido a razón de denominador 1000.
Ejemplo: 1/7=0,1428 que es el tanto por uno = 142,8/1000 o 142,8 por mil = 142,8‰.


3 Las aventuras de Troncho y Poncho. “Fracciones”.


CÁLCULOS


  1. ‣  Simplificación y amplificación de fracciones.
  2. ‣  Obtención de la fracción equivalente irreducible de una dada.
  3. ‣  Suma, resta, producto y cociente de fracciones. Operaciones combinadas.
  4. ‣  Suma, resta, producto y divisiones entre fracciones y números enteros.
  5. ‣  Suma y resta de números mixtos.
  6. ‣  Conversión de números mixtos a fracción impropia y/o a decimales.
  7. ‣  Cálculo de tasas unitarias.
  8. ‣  Suma y resta entre números enteros, mixtos y fraccionarios.
  9. ‣  Conversión entre fracciones, porcentajes,tantos por uno, tantos por mil, fracciones decimales y decimales exactos (no periódicos).

 

30 pensamientos en “Fracciones, Razones, Porcentajes.

  1. Federico Arregui Autor de la entrada

    Boris: UN número racional no es una única fracción, sino que es el conjunto entero de infinitas fracciones que valen lo mismo que ella. Así por ejemplo (y sólo enunciamos las primeras…) el número racional representado por 1/2, es el grupo formado por 1/2, 2/4, 3/6, 4/8, y así un sinfín de ellas ¿entendido? el número racional “1/2” es TODO EL CONJUNTO DE LAS QUE VALEN LO MISMO QUE 1/2.
    Saludos Boris!

  2. Boris

    Buenas Fede, tengo una duda sobre el significado de número racional. ¿El número racional viene a ser una fracción cualquiera?

    Gracias.

  3. Amaia

    ola fede q tal estas¿?me gusta muxo el blog oye una cosa ¿podrias poner un ejemplo de fracción recípocra? q te recuperes pronto adios!!!!!!!

  4. samara

    holaa fede !!!!!! te falta muxo pa venir a clase ? tenemos ganas de verte .. recuperate pronto plissss!!!!!!!!!!!

  5. Asier Zamarbide

    Hola Fede!!! Que tal va esa rodilla?¿?¿ Todos queremos que te recuperes prontoy cuando vuelvas, vengas relajado, y no nos ande tanto para estudiar eeeeeeeeee Bueno, que e recuperes pronto,Adios

  6. Federico Arregui Autor de la entrada

    Si Sara. Igual que el opuesto de un número es el mismo, pero con el signo cambiado.

  7. Sara Irurzun

    Hola Fede!!!
    Tengo una pregunta.
    ¿ la fracción opuesta de 4/3 es -4/3?
    Que te recuperes pronto. Un abrazo.

  8. ivan gonzalez

    hola fede q tal .Spero q t recupres pronto .Menuda pasada d blog , me encantan los glosarios. deu

  9. veronica gonzalez

    HOLA! soy veronica, y te estamos esperando con muchas ganas .que tal vas de tu rodilla porque espero que bien.
    que te recuperes pronto, de mi parte y la de mi hermana paloma

  10. Paula Sampayo

    Hola Fede:

    K tal estas? Espero k te recuperes pronto. GRACIAS POR EL GLOSARIO!!!!!!!!!! Me es muy útil. MUCHÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍÍSIMOS BESAZOS!!!!!!!!!! Recuerdos de toda/os. & HASTA MAÑANA

  11. Miriam Roncal

    Hola Fede ¿ Que tal?
    entonces vamos estudiando esto para el lunes y luego el trabajo ese no?
    recuperate pronto

  12. erika

    Hola fede, muchas gracias x la explicación ya lo he entendido . tenemos k estudiar este vocabulario o el del libro ?????
    espero k te recuperes pronto !!!

  13. eva sierra

    ola fede!!! 🙂 oye muchas gracias x poner las def
    aunq estes asi mal cn la pierna t acuerdas d ponernos cosas para facilitarnos el estudio
    espero q t recuperes y vuelvas pronto jeje

  14. Federico Arregui Autor de la entrada

    Gracias Angela: sí; vais a ir leyendo y estudiando las definiciones de “Números racionales”. Creo que es fácil.

  15. angela

    holaa fedee oye esta muy bien esta cosa eh!nos estudiamos todo lo que esta donde numeros racionaless?
    vuenoo k te recuperers!

  16. irene oroz

    fede esto es todo lo que hay que estudiar ¿no? ¿o ay que estudiar cosas del libro?
    ¡saludos, recuperate pronto!

  17. maria barrutia

    Hola ¡¡¡ Fede que tal estas ? esperamos que bien.
    Una cosa cogemos toda la teoria del blog o algo de libro?

    ESPERAMOS VERTE PRONTO JJJJJ

    Un saludo RECUPERATE PRONTOOOOO ¡¡¡

  18. samara

    holaaa Fede k tal estas? podrias haber puesto unas cuantas mas definiciones eehh!!!!!!!!!, que te recuperes pronto

    saludos

  19. cris

    hola fede!!! para mañana hay que estudiar todo el vocabulerio de numeros racionales??? porque jose aun no nos a empezado a mandar!!!!!
    saludos y que te recuperes pronto!!!!!

  20. erika

    Hola fede,espero que te recuperes pronto. Te escribia por que tengo una duda sobre el vocabulario de números racionales : no entiendo que es un número racional??????

    Muchas gracias y hasta pronto.

  21. javier

    Hola Fede, gracias por poner taaaaaaaaaaantas definiciones, ya que hacen que sepamos más sobre el “maravilloso” mundo de las matemáticas. Espero que no pilles a nadie con la guardia baja en lo que respecta a los glosarios después del pedazo blog que has hecho…

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